Вопрос 4. взаимное расположение двух плоскостей. угол между плоскостями. расстояние от точки до плоскости.

Рассмотрим плоскости

Вопрос 4. взаимное расположение двух плоскостей. угол между плоскостями. расстояние от точки до плоскости.

и

Вопрос 4. взаимное расположение двух плоскостей. угол между плоскостями. расстояние от точки до плоскости.

, заданные своими общими уравнениями:

Вопрос 4. взаимное расположение двух плоскостей. угол между плоскостями. расстояние от точки до плоскости.

;

Вопрос 4. взаимное расположение двух плоскостей. угол между плоскостями. расстояние от точки до плоскости.

.

Вопрос 4. взаимное расположение двух плоскостей. угол между плоскостями. расстояние от точки до плоскости.

и

Вопрос 4. взаимное расположение двух плоскостей. угол между плоскостями. расстояние от точки до плоскости.

r – ранг основной матрицы;

R – ранг расширенной матрицы.

Возможны три случая взаимного расположения двух плоскостей:

1) плоскости параллельны, но не совпадают (r=1, R=2);

2) плоскости совпадают (r=1,R=1);

3) плоскости не параллельны, т.е. пересекаются по прямой (r=2).

Частым случаем является перпендикулярность двух плоскостей.

Для случаев 1) и 2) общим является то, что векторы

Вопрос 4. взаимное расположение двух плоскостей. угол между плоскостями. расстояние от точки до плоскости.

и

Вопрос 4. взаимное расположение двух плоскостей. угол между плоскостями. расстояние от точки до плоскости.

коллинеарны.

Угол между плоскостями – это один из смежных двугранных углов, образованных этими плоскостями.

Углом между двумя плоскостями

Вопрос 4. взаимное расположение двух плоскостей. угол между плоскостями. расстояние от точки до плоскости.

и

Вопрос 4. взаимное расположение двух плоскостей. угол между плоскостями. расстояние от точки до плоскости.

называется угол

Вопрос 4. взаимное расположение двух плоскостей. угол между плоскостями. расстояние от точки до плоскости.

между нормальными векторами этих плоскостей .

Нормальный вектор

Вопрос 4. взаимное расположение двух плоскостей. угол между плоскостями. расстояние от точки до плоскости.

к данной плоскости может иметь любое из двух противоположных друг другу направлений, поэтому угол между плоскостями определен неоднозначно : для угла

Вопрос 4. взаимное расположение двух плоскостей. угол между плоскостями. расстояние от точки до плоскости.

возможны два варианта записи:

Вопрос 4. взаимное расположение двух плоскостей. угол между плоскостями. расстояние от точки до плоскости.

и

Вопрос 4. взаимное расположение двух плоскостей. угол между плоскостями. расстояние от точки до плоскости.

. Учитывая, что

Вопрос 4. взаимное расположение двух плоскостей. угол между плоскостями. расстояние от точки до плоскости.

можно косинус угла между плоскостями находить по формуле:

Вопрос 4. взаимное расположение двух плоскостей. угол между плоскостями. расстояние от точки до плоскости.

, где

Вопрос 4. взаимное расположение двух плоскостей. угол между плоскостями. расстояние от точки до плоскости.

и

Вопрос 4. взаимное расположение двух плоскостей. угол между плоскостями. расстояние от точки до плоскости.

любые два вектора, перпендикулярные плоскостям

Вопрос 4. взаимное расположение двух плоскостей. угол между плоскостями. расстояние от точки до плоскости.

и

Вопрос 4. взаимное расположение двух плоскостей. угол между плоскостями. расстояние от точки до плоскости.

или

Вопрос 4. взаимное расположение двух плоскостей. угол между плоскостями. расстояние от точки до плоскости.

Условие параллельности двух плоскостей. Если плоскости

Вопрос 4. взаимное расположение двух плоскостей. угол между плоскостями. расстояние от точки до плоскости.

и

Вопрос 4. взаимное расположение двух плоскостей. угол между плоскостями. расстояние от точки до плоскости.

параллельны, то их нормальные вектора коллинеарные. Признаком колленеарности двух векторов является пропорциональность их координат.

Вопрос 4. взаимное расположение двух плоскостей. угол между плоскостями. расстояние от точки до плоскости.

Условие перпендикулярности двух плоскостей. Плоскости

Вопрос 4. взаимное расположение двух плоскостей. угол между плоскостями. расстояние от точки до плоскости.

и

Вопрос 4. взаимное расположение двух плоскостей. угол между плоскостями. расстояние от точки до плоскости.

перпендикулярны, следовательно, их нормальные вектора перпендикулярны

Вопрос 4. взаимное расположение двух плоскостей. угол между плоскостями. расстояние от точки до плоскости.

^

Вопрос 4. взаимное расположение двух плоскостей. угол между плоскостями. расстояние от точки до плоскости.

. Признаком перпендикулярности двух векторов является равенство нулю их скалярного произведения. A1A2 + B1B2 + C1C2 = 0.

Расстояние от точки до плоскости

Пусть дана точка

Вопрос 4. взаимное расположение двух плоскостей. угол между плоскостями. расстояние от точки до плоскости.

и плоскость

Вопрос 4. взаимное расположение двух плоскостей. угол между плоскостями. расстояние от точки до плоскости.

:

Вопрос 4. взаимное расположение двух плоскостей. угол между плоскостями. расстояние от точки до плоскости.

. Расстояние

Вопрос 4. взаимное расположение двух плоскостей. угол между плоскостями. расстояние от точки до плоскости.

между ними, то есть длина перпендикуляра, опущенного из точки

Вопрос 4. взаимное расположение двух плоскостей. угол между плоскостями. расстояние от точки до плоскости.

на плоскость

Вопрос 4. взаимное расположение двух плоскостей. угол между плоскостями. расстояние от точки до плоскости.

:

Вопрос 4. взаимное расположение двух плоскостей. угол между плоскостями. расстояние от точки до плоскости.

определяется аналогично расстоянию от точки до прямой.

GetAClass — ЕГЭ по математике — Угол между плоскостями (Часть 1)


Похожие статьи:

Понравилась статья? Поделиться с друзьями: