Соударение двух тел

Рассмотрим количественные соотношения, которые получаются при описании различных соударениях двух тел.

Обычно рассматривают два предельных случая: абсолютно упругий и абсолютно неупругий удары.

Абсолютно упругий удар – это удар, при котором сохраняется полная механическая энергия.

Нахождение скоростей даже двух материальных точек после абсолютно упругого удара в лабораторной системе отсчета в общем виде – довольно громоздкая задача. Однако в системе центра масс эта задача имеет простое решение.

Допустим, в лабораторной системе импульс первого шарика (материальной точки) равен

Соударение двух тел

, а второго шарика –

Соударение двух тел

. Тогда скорость Vc центра масс системы двух шариков равна (18.6):

Соударение двух тел

.

Переходя в систему центра масс и используя преобразования Галилея (8.3), имеем:

– скорость первого шарика в системе центра масс равна:

Соударение двух тел

.

– скорость второго шарика в системе центра масс равна:

Соударение двух тел

.

Тогда импульс

Соударение двух тел

первого шарика в системе центра масс равен:

Соударение двух тел

;

Импульс

Соударение двух тел

второго шарика в системе центра масс равен:

Соударение двух тел

.

Как и следовало ожидать, сумма импульсов

Соударение двух тел

двух шариков в системе центра масс равна нулю.

После удара сумма импульсов

Соударение двух тел

в системе центра масс после удара также должна быть равной нулю, так как мы предполагаем систему шариков замкнутой. Это значит, что импульсы шариков после удара будут равны по модулю

Соударение двух тел

и направлены в противоположные стороны. Скорости шариков после удара изменят свое направление в системе центра масс на некоторый угол, который определяется начальными условиями (центральный или косой удары). Модули же импульсов останутся неизменными:

Соударение двух тел

. Покажем это, используя закон сохранения энергии. Кинетические энергии шариков до удара равны:

Соударение двух тел

.

Вследствие выполнения закона сохранения механической энергии при абсолютно упругом ударе, суммарная кинетическая энергия шариков после удара должна остаться прежней:

Соударение двух тел

и

Соударение двух тел
Соударение двух тел

.

Таким образом, в системе центра масс абсолютно упругий удар двух шариков приводит к тому, что импульсы шариков по модулю не изменяются, меняется только направление их движения, определяемое начальными условиями.

Теперь, чтобы определить конечные импульсы шариков в лабораторной системе, необходимо применить опять преобразования Галилея (8.3).

Соударение двух тел

. (*)

Соударение двух тел

. (**)

Здесь вектор е1к– единичный вектор, проведенный по направлению конечного импульса первого шарика

Соударение двух тел

в системе центра масс.

Эти выражения позволяют довольно легко ответить на вопрос, какая энергия в среднем передается при хаотических соударениях шариков различных масс. Полученный результат нам пригодится при рассмотрении хаотического движения атомов и молекул газа, и позволит уяснить физический смысл температуры газа.

В силу хаотичности движения шариков, их скорости должны иметь беспорядочные направления. Отсюда следует, что средние значения скалярных произведений av1?v2n, av1?е1кn и av2?е1кn должны быть равны нулю. Тогда, используя выражение (*), получим, что среднее приращение энергии первого шарика aDЕ1n в результате многочисленных столкновений будет равно,

Соударение двух тел

,

где р1к и р2 – конечный и начальный импульсы шариков;

Соударение двух тел

– средние начальная и конечная их кинетические энергии.

Отсюда следует, что если средняя энергия второго шарика больше чем средняя энергия первого шарика, то в результате хаотических столкновений первый шарик в среднем будет получать энергию от второго шарика. Процесс передачи энергии будет продолжаться до тех пор, пока средние энергии шариков не уравняются. Этот важный результат показывает, что средние энергии атомов и молекул в равновесном состоянии будут равны, даже если массы атомов различны.

Рассмотрим с помощью полученных результатов частный случай – центральный удар шаров. Это означает, что векторы начальных скоростей обоих шаров лежат на прямой, соединяющей их центры. Она называется линией центров.

Рассмотрим этот удар в системе центра масс.

Очевидно, что и скорость центра масс

Соударение двух тел

и конечные скорости шаров

Соударение двух тел

после удара лежат на этой же прямой. Это означает, что в системе центра масс и начальные (

Соударение двух тел

)и конечные(

Соударение двух тел

) векторы импульсов должны также лежать на линии центров. Следовательно, конечный импульс первого шара

Соударение двух тел

может быть равен либо его начальному импульсу

Соударение двух тел

(это означало бы , что шары еще не претерпели столкновения), либо должен быть направлен в противоположную сторону:

Соударение двух тел

. (***)

А поскольку

Соударение двух тел

, то в системе центра масс абсолютно упругий центральный удар шаров приводит к обмену шаров импульсами.

Непосредственно из (*) и (**) с учетом (***) следует:

Соударение двух тел

;

Соударение двух тел

.

Следовательно,

Соударение двух тел

;

Соударение двух тел

.

В качестве примера рассмотрим случай, когда один из шаров покоится, например, т2. Так как v2 = 0, то

Соударение двух тел

и

Соударение двух тел

;

Соударение двух тел

.

Направим одну из осей координат вдоль линии центров по направлению скорости v0 налетающего шара m1. Тогда,

Соударение двух тел

.

Соударение двух тел

Для анализа полученного результата, введем параметр

Соударение двух тел

, характеризующий отношение масс, сталкивающихся шаров. Тогда скорости шаров после удара будут равны:

Соударение двух тел

. Построим графики полученных зависимостей. По оси абсцисс будем откладывать параметр k, а по оси ординат отношение скорости шара после удара к начальной скорости налетающего шара. Кривая 1 относится к налетающему шару, а кривая 2 к покоящемуся. Из анализа этих кривых можно сделать следующие выводы:

– если масса

Соударение двух тел

налетающего шара меньше

Соударение двух тел

, то его скорость станет отрицательной, т.е. он отлетит после удара в обратную сторону;

– если массы шаров равны т1 = т2 (k =1), то шары обменяются скоростями;

– с ростом массы т1 налетающего шара его скорость после удара будет стремиться к v0, а скорость отскочившего шара к 2 v0. Это максимальная скорость, которую может приобрести отлетающий шар.

Зная конечные скорости шаров v1 и v2, легко вычислить их импульсы р1 и р2.

Соударение двух тел

;

Соударение двух тел

,

где

Соударение двух тел

– начальный импульс налетающего шара.

Соударение двух тел

Построим графики зависимостей импульсов разлетевшихся шаров от параметра k. По оси ординат будем откладывать отношение импульсов шаров р1 и р2 к начальному импульсу налетающего шара р0. Кривая 1 по-прежнему относится к налетающему шару, а кривая 2 к покоящемуся. Из анализа этих кривых можно сделать следующие выводы:

– при

Соударение двух тел

налетающий шар приобретает импульс противоположный начальному импульсу р0, а второму шару сообщается удвоенный начальный импульс р0;

– при равных массах (k = 1) шары обмениваются импульсами;

– при соотношении масс

Соударение двух тел

шары после удара имеют одинаковые модули импульсов, равные 0,5р0;

– при дальнейшем росте массы т1налетающий практически не меняет своего импульса р0,а импульс второго шара стремится к

Соударение двух тел

.

Вычислим кинетические энергии

Соударение двух тел

разлетающихся шаров.

Соударение двух тел

;

Соударение двух тел

,

где

Соударение двух тел

– начальная кинетическая энергия налетающего шара.

Построим графики зависимостей кинетических энергий Е1 и Е2 разлетевшихся шаров от параметра k, при этом по оси ординат будем откладывать отношение энергий шаров Е1 и Е2 к начальной энергии налетающего шара Е0. Кривая 1 по-прежнему относится к налетающему шару, а кривая 2 к покоящемуся. Проанализируем полученные кривые.

Соударение двух тел

а) Каждому значению энергии Е/Е0 соответствуют два значения k1 и k2, причем k1 = 1/k2. Действительно, легко убедиться, что

Соударение двух тел

и

Соударение двух тел

. Поясним, что это означает, на следующем примере. Допустим, что один шар тяжелее другого в три раза. Независимо от того, какой из шаров покоится, налетающий шар потеряет три четверти своей первоначальной энергии, т.е. у него останется 0,25Е0.

б) При значениях k1=0,1716 и

Соударение двух тел

энергии разлетающихся шаров равны.

Рассмотрим теперь абсолютно неупругий удар.

Закон сохранения импульса для нашего случая запишется в виде:

Соударение двух тел

.

Отсюда скорость U шаров, которые после неупругого удара движутся вместе, будет равна:

Соударение двух тел

.

Спроектируем это векторное равенство на ось, совпадающую по направлению с вектором v0.

Соударение двух тел

Тогда импульс р1 первого шара и импульс р2 второго шара после удара будут равны:

Соударение двух тел

Физика. Законы сохранения в механике: Абсолютно упругий удар. Центр онлайн-обучения «Фоксфорд»


Похожие статьи:

Понравилась статья? Поделиться с друзьями: