Понятие определённого интеграла

Основные свойства интеграла. Установим ряд важных свойств определенного интеграла. Большая часть этих свойств присуща интегралам от любых интегрируемых функций, но мы будем формулировать их для функций непрерывных.

Теорема 1. Если f(x) и g(x) — две непрерывные функции, заданные на промежутке [a, b], то

Понятие определённого интеграла
Понятие определённого интеграла
Понятие определённого интеграла
Понятие определённого интеграла
Понятие определённого интеграла

т. е. интеграл суммы равен сумме интегралов слагаемых.

В самом деле, составляя интегральную сумму для функции f(x) + g(x), очевидно, будем иметь

Понятие определённого интеграла
Понятие определённого интеграла
Понятие определённого интеграла
Понятие определённого интеграла
Понятие определённого интеграла
Понятие определённого интеграла

после чего остается перейти к пределу при ? 0.

Аналогично доказывается

Теорема 2. Если f(x) — непрерывная функция, а c — постоянное число, то

Понятие определённого интеграла
Понятие определённого интеграла
Понятие определённого интеграла

т. е. постоянный множитель можно выносить за знак интеграла.

Теорема 3. Пусть f(x) непрерывна на промежутке [a, b]. Если этот промежуток точкой c разложен на части [a, c] и [c, b], то интеграл по всему промежутку оказывается равным сумме интегралов по его частям, т. е.

Понятие определённого интеграла
Понятие определённого интеграла
Понятие определённого интеграла
Понятие определённого интеграла
Понятие определённого интеграла

В самом деле, будем при раздроблении промежутка [a, b] на части включать c в число точек деления. Если c = xm, то

Понятие определённого интеграла
Понятие определённого интеграла
Понятие определённого интеграла
Понятие определённого интеграла
Понятие определённого интеграла
Понятие определённого интеграла

Каждая из написанных здесь трех сумм является интегральной суммой соответственно для промежутков [a, b], [a, c] и [c, b]. Остается перейти к пределу при ? 0.

Доказанную теорему можно высказать в более общей форме. Для этого нам понадобится расширить смысл символа интеграла.

Если f(x) — любая функция, определенная в точке a, то по определению полагаем

Понятие определённого интеграла
Понятие определённого интеграла

(11)

Таким образом, интеграл с совпадающими пределами равен нулю.

Пусть функция f(x) интегрируема на промежутке [a, b]. Тогда по определению полагаем

Понятие определённого интеграла
Понятие определённого интеграла
Понятие определённого интеграла

(12)

Таким образом, при перестановке пределов интегрирования определенный интеграл меняет знак.

Теперь можем привести упомянутую более общую форму теоремы 3:

Теорема 4. Пусть функция f(x) непрерывна в промежутке [A, B]. Если a, b, c суть точки этого промежутка, то

Понятие определённого интеграла
Понятие определённого интеграла
Понятие определённого интеграла
Понятие определённого интеграла

(13)

В самом деле, если из точек a, b и c две (а тем более три) совпадают, то равенство (13) очевидно. Пусть же все эти точки различны. Если a c b, то дело сводится к теореме 3. Прочие случаи взаимного расположения точек a, b, c тоже легко свести к той же теореме. Пусть, например, c b a. Тогда

Понятие определённого интеграла
Понятие определённого интеграла
Понятие определённого интеграла
Понятие определённого интеграла

откуда

Понятие определённого интеграла
Понятие определённого интеграла
Понятие определённого интеграла
Понятие определённого интеграла

и остается дважды применить формулу (12).

Свойство интеграла, выражаемое теоремами 3 и 4, называется аддитивностью его, как функции промежутка интегрирования.

Теорема 5. Если f(x) — непрерывная функция, заданная на промежутке [a, b], то существует такая точка

Понятие определённого интеграла
Понятие определённого интеграла

, что

Понятие определённого интеграла
Понятие определённого интеграла

(14)

В самом деле, пусть M и m наибольшее и наименьшее значения f(x) на промежутке [a, b]. Составим для f(x) какую-нибудь интегральную сумму

Понятие определённого интеграла
Понятие определённого интеграла
Понятие определённого интеграла

Так как при всех k будет m ? f(?k) ? M, а xk+1 xk, то m(xk+1 — xk) ? M(xk+1 — xk). Складывая такие неравенства и замечая, что

Понятие определённого интеграла
Понятие определённого интеграла
Понятие определённого интеграла

получим:

m(b — a) ? ? ? M(b — a).

Переходя в этом неравенстве к пределу при ? 0, приходим после деления на b — a к новому неравенству

Понятие определённого интеграла
Понятие определённого интеграла
Понятие определённого интеграла

Таким образом, частное

Понятие определённого интеграла
Понятие определённого интеграла
Понятие определённого интеграла

есть число, лежащее между наибольшим и наименьшим значениями непрерывной функции. Как известно, тогда и само это число должно являться одним из значений той же функции. Поэтому в [a, b] обязательно существует такая точка ?, что h = f(?), а это равносильно равенству (14).

Заметим, что равенство (14) справедливо не только при a b, но и при a = b (тогда обе части этого равенства нули), а также и при a b (этот случай приводится к рассмотренному изменением знаков). В первом из этих случаев будет ? = a, а во втором a ? ? ? b.

Теорему 5 обычно называют теоремой о среднем значении. Из нее вытекает ряд свойств интеграла, выражающихся неравенствами.

Теорема 6. Если f(x) — неотрицательная непрерывная функция и нижний предел интеграла не больше верхнего*, то и сам интеграл будет числом неотрицательным

Понятие определённого интеграла
Понятие определённого интеграла

Действительно, в этом случае оба сомножителя правой части формулы (14) неотрицательны.

___________________________________

* Если в интеграле

Понятие определённого интеграла
Понятие определённого интеграла

будет a ? b, то будем говорить, что порядок пределов интегрирования — нормальный.

Последний результат можно несколько уточнить.

Теорема 7. Если a b, а f(x) — непрерывная неотрицательная функция, которая хотя бы в одной точке [a, b] отлична от нуля, то

Понятие определённого интеграла
Понятие определённого интеграла

В самом деле, пусть x0 (a x0 b) — такая точка, что f(x0) 0. Возьмем столь малое ? 0, чтобы при | x — x0 | ? было f(x) 0, что, очевидно, возможно, благодаря непрерывности нашей функции. Не ограничивая общности, можно принять, что a ? x0 — ?, x0 + ? ? b. Тогда

Понятие определённого интеграла
Понятие определённого интеграла
Понятие определённого интеграла
Понятие определённого интеграла
Понятие определённого интеграла

Первый и третий интегралы правой части по предыдущей теореме неотрицательны, а второй интеграл по теореме о среднем представим в форме

Понятие определённого интеграла
Понятие определённого интеграла
Понятие определённого интеграла
Понятие определённого интеграла
Понятие определённого интеграла

и потому строго положителен.

Теорему 7 можно, очевидно, формулировать и так:

Теорема 8. Пусть f(x) — неотрицательная непрерывная функция, заданная в [a, b], причем a b. Если

Понятие определённого интеграла
Понятие определённого интеграла

то f(x) всюду на [a, b] равна нулю.

В обеих теоремах 7 и 8 (в отличие от теоремы 6) нельзя отбросить условия непрерывности подинтегральной функции. Например, функция, которая в конечном числе точек [a, b] равна единице, а в остальных точках этого промежутка равна нулю, будет неотрицательной и нетождественной нулю, а интеграл от нее (как показано в пункте Определенный интеграл) равен нулю.

Теорема 9. Если a ? b, а f(x) и u·g(x) — две непрерывные функции, которые на [a, b] удовлетворяют условию f(x) ? g(x), то

Понятие определённого интеграла
Понятие определённого интеграла
Понятие определённого интеграла

(15)

т. е. при нормальном порядке пределов интегрирования неравенство можно интегрировать почленно.

Действительно,

Понятие определённого интеграла
Понятие определённого интеграла
Понятие определённого интеграла
Понятие определённого интеграла
Понятие определённого интеграла

Если бы мы допустили, что a b и что хоть в одной точке оказывается f(x) g(x), то смогли бы и в (15) исключить знак равенства.

Теорема 10. Если a ? b и f(x) непрерывна на [a, b], то

Понятие определённого интеграла
Понятие определённого интеграла
Понятие определённого интеграла

(16)

т. е. при нормальном порядке пределов интегрирования абсолютная величина интеграла не превосходит интеграла от абсолютной величины подинтегральной функции.

В самом деле, интегрируя неравенств

— | f(x) | ? f(x) ? | f(x) |,

находим:

Понятие определённого интеграла
Понятие определённого интеграла
Понятие определённого интеграла
Понятие определённого интеграла
Понятие определённого интеграла

а это равносильно неравенству (16).

Из теоремы о среднем значении немедленно вытекает также следующая важная оценка интеграла:

Теорема 11. Если непрерывная функция f(x) для всех x между a и b удовлетворяет неравенству | f(x) | ? K, то

Понятие определённого интеграла
Понятие определённого интеграла
Понятие определённого интеграла

Отметим, наконец, что поскольку определенный интеграл есть постоянное число, вполне определяемое пределами интегрирования и подинтегральной функцией, то обозначение переменной интегрирования никакого значения иметь не может, так что символы

Понятие определённого интеграла
Понятие определённого интеграла
Понятие определённого интеграла
Понятие определённого интеграла
Понятие определённого интеграла

обозначают одно и то же число. Это небесполезно сопоставить с тем, что у интегралов неопределенных дело обстоит не так. Например,

Понятие определённого интеграла
Понятие определённого интеграла
Понятие определённого интеграла

Поэтому, сводя интеграл

Понятие определённого интеграла
Понятие определённого интеграла

с помощью подстановки sin x = z к интегралу

Понятие определённого интеграла

мы должны иметь в виду, что последний интеграл равен не

Понятие определённого интеграла

, а именно,

Понятие определённого интеграла

с тем, чтобы в этом выражении заменить z на sin x.

Определённый интеграл — понятие и вычисление


Похожие статьи:

Понравилась статья? Поделиться с друзьями: