Главная часть бесконечно-малой.

Задача 1. Отыскать основную часть для

в точке

т.е. вида

.

Ответ.Во-первых, видно, что это вправду бесконечно-малая в точке 1, так как

. Запишем в знаменателе

и приравняем предел к единице, поскольку эти величины должны быть эквивалентны. После этого ведём преобразования и упрощаем выражение под знаком предела, как при простом вычислении предела. В то время, когда оно упростится так, что все возможно будет собрать в отдельный множитель, а все остальные, не стремящиеся к нулю, раздельно, тогда легко определится k и С. Так как мы ищем эквивалентную, то предел изначально приравняем к 1.

.

Множители (x-1) всецело сократятся только при, в то время, когда k=1, в противном случае предел оказался бы 0 либо

. Сейчас, в случае если уже как мы знаем, что k=1, и все множители типа (x-1) сократились, вычислим С.

,

, С = 3. Тогда

.

Ответ.

. График

и

:

Главная часть бесконечно-малой.

На графике зелёным изображена основная часть

, а коричневым

. Практически мы нашли среди степенных функций вида

наилучшую, соответствующую

. Кстати, увидим, в случае если порядок малости в данной точке равен 1, другими словами k=1, то график пересекает ось Ох под каким-то углом, причём основная часть это и имеется уравнение касательной. В случае если же касательная горизонтальна, то бесконечно малая имеет не 1 порядок, а более большой.

Задача 2. Выделить основную часть бесконечно-малой

в точке

.

Ответ.Запишем

.

Заменяем на синус на эквивалентную бесконечно-малую, для этого делим и домножаем, дабы избавиться от синуса в этом выражении, т.е. дабы остались лишь степенные функции.

предел первого множителя = 1, остаётся

.

В отдельную дробь вынесли множители, которые содержат

. Тогда видно, что

, в противном случае множитель

остался бы либо в числителе, либо знаменателе, и предел 0 либо

, а должен быть равен 1.

При

остаётся

.

Ответ.

. Практически, это оказалось уравнение касательной

.

В дополнение, чертёж к данной задаче.

продемонстрировано красным цветом, а основная часть

зелёным.

Главная часть бесконечно-малой.

Задача 3. Выделить основную часть бесконечно-малой:

в точке

.

Ответ.Так как точка 0, то вместо множителя

тут легко

. Поделим и приравняем предел к 1,

.

Преобразуем так, как в большинстве случаев при вычислении предела, в то время, когда в не было малоизвестных параметров. Заменим на эквивалентную бесонечно-малую.

=

.

Сейчас домножим и поделим на сопряжённое выражение.

разумеется, что данный lim предположительно составит константе только при

, так как в случае если

сократится не всецело, то будет 0 либо

. При

остаётся

,

.

Ответ.

.

Чертёж к данной задаче. Красным продемонстрирована исходная функция, зелёным основная часть.

Главная часть бесконечно-малой.

Так, отыскана «самая похожая» на

в окрестности нуля функция (в классе степенных функций). Видно, что в окрестности 0 их графики весьма близки, вот в чём состоит геометрический суть основной части бесконечно-малой функции.

Сравнение бесконечно малых функций


Похожие статьи:

Понравилась статья? Поделиться с друзьями: